268.和算法执行时间相关的因素

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1.1算法选取的策略

1.2问题报告 的规模

1.3编写多多多线程 的语言

1.4编译多多多线程 产生的机器代码的质量

1.5计算机执行指令的效率

2.一些影响元素

3.1定义

  2个多多特定算法的“运行工作量”的大小,​只依赖于问题报告 的规模(通常用整数量n表示),​不可能 说,它是问题报告 规模的函数。​​

  后后我我,随着问题报告 规模 n 的增长,算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同,​则可记作:T (n) = O(f(n)), 称T (n) 为算法的(渐近)时间多样化度。​​​

  2个多多算法是由控制形态学 (顺序、分支和循环3种)和原操作(指固有数据类型的操作)构成的,算法的运行时间取决于两者的综合效果。

3.2估算算法的时间多样化度

(Time Complexity)​

3.2.1定义

  从算法中选取有这俩对于所研究的问题报告 来说是基本操作的原操作,​以该基本操作 在算法中重复执行的次数 作为算法运行时间的衡量准则。

  ​“基本操作” 指的是,该操作重复执行次数和算法的运行时间成正比。

  算法的执行时间=∑原操作(i)的执行次数×原操作(i)的执行时间

  详细​算法的执行时间与原操作执行次数之和成正比

  算法= 控制形态学 + 原操作(固有数据类型的操作)

12个多多矩阵相乘
​​eg1:2个多多矩阵相乘​
void mult(inta[], int b[], int&c[] ) ​{
// 以二维数组存储矩阵元素,c为 a 和 b的乘积
    for (i=1; i<=n; ++i){​ 
        for(j=1; j<=n; ++j) ​{ 
            c[i,j] = 0; 
            for(k=1; k<=n; ++k) 
                c[i,j] += a[i,k]*b[k,j]; 
            } 
    }
} 基本操作: 乘法操作时间多样化度:  O(n^3)    

2选取排序

3起泡排序

4有如下递归函数fact(n),分析其时间多样化度
int fact(int n){ 
​if(n<=1) return(1);                (1) 
else return(n*fact(n-1));        (2)
}
解:设fact(n)的运行时间多样化函数是T(n),​
     该函数中得话(1)的运行时间是O(1),​
     得话(2)的运行时间为:T(n-1)+O(1),
     其中O(1)为基本运算时间,​
后后:  T(n) = O(1)+T(n-1)
            = O(1)+O(1)+T(n-2)
            = …… 
            = (n-1)*O(1)+T(1) 
            = n*O(1) 
            = O(n)则fact(n)的时间多样化度为O(n)。​​

3.2.2分析算法时间多样化度的一般步骤 

3.2.3渐进符号

  设n为算法中的问题报告 规模,通常用大O、大Ω和Θ等有这俩渐进符号表示算法的执行时间与n之间的有这俩增长关系。

3.2.3.1 大O符号

定义

  定义1(大O符号),f(n)=O(g(n))(读作“f(n)是g(n)的大O”)当且仅当地处正常量c和n0,使当n≥n0时,f(n)≤cg(n),即g(n)为f(n)的上界。

 如3n+2=O(n),不可能 当n≥2时,3n+2≤4n。

 10n2+4n+2=O(n4),不可能 当n≥2时,10n2+4n+2≤10n4。

  大O符号用来描述增长率的上界,表示f(n)的增长最多像g(n) 增长的那样快,也却得话,当输入规模为n时,算法消耗时间的最大值。这俩上界的阶越低,结果就越有价值,全都,对于10n2+4n+2,O(n2)比O(n4) 有价值。

  2个多多算法的时间用大O符号表示时,2个多劲采用最有价值的g(n)表示,称之为“紧凑上界”或“紧确上界”。

  一般地,不可能

常用的几种时间多样化度的关系

说明:

1.在难以精确计算基本操作执行次数(或得话频度)的请况下,只需求出它关于n的增长率或阶即可2.2个多多算法的时间多样化度可不能能具体分为最好、最差(又称最坏)和平均有这俩请况讨论。​

除怪怪的说明外,正常均指最坏请况下的时间多样化度。

例子

12个多多矩阵相乘
​​eg1:2个多多矩阵相乘​
void mult(inta[], int b[], int&c[] ) ​{
// 以二维数组存储矩阵元素,c为 a 和 b的乘积
    for (i=1; i<=n; ++i){​ 
        for(j=1; j<=n; ++j) ​{ 
            c[i,j] = 0; 
            for(k=1; k<=n; ++k) 
                c[i,j] += a[i,k]*b[k,j]; 
            } 
    }
} 基本操作: 乘法操作时间多样化度:  O(n^3)    

2选取排序

3起泡排序

4有如下递归函数fact(n),分析其时间多样化度
int fact(int n){ 
​if(n<=1) return(1);                (1) 
else return(n*fact(n-1));        (2)
}
解:设fact(n)的运行时间多样化函数是T(n),​
     该函数中得话(1)的运行时间是O(1),​
     得话(2)的运行时间为:T(n-1)+O(1),
     其中O(1)为基本运算时间,​
后后:  T(n) = O(1)+T(n-1)
            = O(1)+O(1)+T(n-2)
            = …… 
            = (n-1)*O(1)+T(1) 
            = n*O(1) 
            = O(n)则fact(n)的时间多样化度为O(n)。​​

3.2.3.2 大Ω符号

  定义2(大Ω符号),f(n)= Ω(g(n))(读作“f(n)是g(n)的大Ω”)当且仅当地处正常量c和nθ,使当n≥n0时,f(n)≥cg(n),即g(n)为f(n)的下界。

  如3n+2=Ω(n),不可能 当n≥1时,3n+2≥3n。

  10n2+4n+2=Ω(n2),不可能 当n≥1时,10n2+4n+2≥n2。  

  大Ω符号用来描述增长率的下界,表示f(n)的增长相当于像g(n) 增长的那样快,也却得话,当输入规模为n时,算法消耗时间的最小值。

与大O符号对称,这俩下界的阶越高,结果就越有价值,全都,对于10n2+4n+2,Ω(n2)比Ω(n) 有价值。2个多多算法的时间用大Ω符号表示时,2个多劲采用最有价值的g(n)表示,称之为“紧凑下界”或“紧确下界”。

  一般地,不可能 ,有

3.2.3.3大Θ符号

  定义3(大Θ符号),f(n)= Θ(g(n))(读作“f(n)是g(n)的大Θ”)当且仅当地处正常量c1、c2和n0,使当n≥n0时,有c1g(n)≤f(n)≤c2g(n),即g(n)与f(n)的同阶。

  如3n+2=Θ (n),10n2+4n+2=Θ(n2)。



  一般地,不可能 ,有f(n)=Θ(nm)。

  大Θ符号比大O符号和大Ω符号都精确,f(n)=Θ(g(n),当且仅当g(n)既是f(n)的上界又是f(n)的下界。

3.2.3.4关系

3.3算法的最好、最坏和平均请况

  设2个多多算法的输入规模为n,Dn是所有输入的集合,任一输入I∈Dn,P(I)是I再次冒出的概率,有ΣP(I) =1,T(I)是算法在输入I下所执行的基本得话次数,则该算法的平均执行时间为:A(n)=。  

  也却得话算法的平均请况是指用各种特定输入下的基本得话执行次数的带权平均值。

  算法的最好请况为:G(n)=,是指算法在所有输入I下所执行基本得话的相当于次数。

  算法的最坏请况为:W(n)=,是指算法在所有输入I下所执行基本得话的最大次数。

4.3非递归算法的时间多样化度分析

  对于非递归算法,分析其时间多样化度相对比较简单,关键是求出代表算法执行时间的表达式。

  通常是算法中基本得话的执行次数,是2个多多关于问题报告 规模n的表达式,后后用渐进符号来表示这俩表达式即得到算法的时间多样化度。

【例1.6】给出以下算法的时间多样化度。
void func(int n)
{   int i=1,k=5000;
    while (i<=n)
    {  k++;
       i+=2;
    }
}
  解:算法中基本得话是while循环内的得话。

  设while循环得话执行的次数为m,i从1开始英语 英文递增,最后取值为1
+2m,有: i=1+2m≤n f(n)=m≤(n-1)/2=O(n)。   该算法的时间多样化度为O(n)。

4.2递归算法的时间多样化度分析

  递归算法是采用有这俩分而治之的法律法律依据,把2个多多“问题报告 ”分解为若干个这类的“小问题报告 ”来求解。

  对递归算法时间多样化度的分析,关键是根据递归过程建立递推关系式,后后求解这俩递推关系式,得到2个多多表示算法执行时间的表达式,最后用渐进符号来表示这俩表达式即得到算法的时间多样化度。

【例1.7】有以下递归算法:
void mergesort(int a[],int i,int j)
{   int m;
    if (i!=j)
    {     m=(i+j)/2;
        mergesort(a,i,m);
        mergesort(a,m+1,j);
        merge(a,i,j,m);
    }
}
    其中,mergesort()用于数组a[0..n-1](设n=2k,这里的k为正整数)的归并排序,

  调用该算法的法律法律依据为: mergesort(a,
0,n-1); 另外merge(a,i,j,m)用于2个多多有序子序列a[i..j]和a[j+1..m]的有序合并,

  是非递归函数,它的时间多样化度为O(n)(这里n=j-i+1)。分析上述调用的时间多样化度。
  解:设调用mergesort(a,0,n-1)的执行时间为T(n),

由其执行过程得到以下求执行时间的递归关系(递推关系式): T(n)=O(1) 当n=1 T(n)=2T(n/2)+O(n) 当n>1 其中,O(n)为merge()所需的时间,设为cn(c为正常量)。后后: T(n) = 2T(n/2)+cn=2[2T(n/22)+cn/2]+cn=22T(n/22)+2cn = 23T(n/23)+3cn = … = 2kT(n/2k)+kcn = nO(1)+cnlog2n=n+cnlog2n //这里假设n=2k,则k=log2n = O(nlog2n)
【例1.8】求解梵塔问题报告

的递归算法如下,分析其时间多样化度。
void Hanoi(int n,char x,char y,char z)
{  if (n==1)
      printf("将盘片%d从%c搬到%c\n",n,x,z);
   else
   {   Hanoi(n-1,x,z,y);
       printf("将盘片%d从%c搬到%c\n",n,x,z);
    Hanoi(n-1,y,x,z);
   }
}
   解:设调用Hanoi(n,x,y,z)的执行时间为T(n),由其执行过程得到以下求执行时间的递归关系(递推关系式):
T(n)=O(1)      当n=1
T(n)=2T(n-1)+1      当n>1

T(n) = 2[2T(n-2)+1]+1=22T(n-2)+1+21 = 23T(n-3)+1+21+22 = … = 2n-1T(1)+1+21+22+…+2n-2 = 2n-1 = O(2n)